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La matem\u00e1tica es el resultado del desarrollo del pensamiento abstracto de innumerables individuos de muchos pueblos y naciones. Los griegos tuvieron una elevada intuici\u00f3n geom\u00e9trica y todos los c\u00e1lculos los realizaron desde esa perspectiva. Roma no aport\u00f3 un \u00e1pice a esta ciencia, tal vez por lo intrincado que resulta hacer c\u00e1lculos con los n\u00fameros romanos o por lo ocupado que estaban en conquistar el mundo y redactar sus leyes. La contribuci\u00f3n matem\u00e1tica del Extremo Oriente, la India y el Asia Media ha llegado a Occidente a trav\u00e9s de los \u00e1rabes.<\/p>\n
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Al-jebr w\u00e1l-muqabela, tratado en cuyo t\u00edtulo est\u00e1n las reglas fundamentales que permiten transformar las expresiones matem\u00e1ticas, fue escrito por el astr\u00f3nomo Mahommed, hijo de musa, nativo de Kharizm, que vivi\u00f3 en el siglo IX; al-jebr da origen a la palabra latina \u00e1lgebra y hace referencia a las reglas que permiten pasar los miembros de una igualdad de un lado a otro; en cambio, muqabela permite simplificar las expresiones algebraicas, curiosamente esta palabra se perdi\u00f3 en el trasfondo del tiempo; a su vez, al-kharizmi genera la palabra algoritmo, o sea la cadena ordenada de pasos que permite hallar la soluci\u00f3n de un problema.<\/p>\n
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Omar Khayyan, c\u00e9lebre cient\u00edfico de Samarkanda, defini\u00f3 el \u00e1lgebra como la ciencia para resolver ecuaciones, desarroll\u00f3 los m\u00e9todos para calcular las ra\u00edces de algunas ecuaciones y la f\u00f3rmula general del binomio de Newton. En esa lejana regi\u00f3n se sistematiz\u00f3 la trigonometr\u00eda, se recopilaron las tablas trigonom\u00e9tricas del seno y tambi\u00e9n se crearon, las fracciones decimales.<\/p>\n
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La tarea de inventar una simbolog\u00eda para operar con los n\u00fameros, aunque fuera iniciada en \u00e9poca de los griegos, fue completada por Tartaglia, Vieta, Descartes, Neper y otros. A partir de entonces, la ciencia europea no s\u00f3lo alcanz\u00f3 el nivel de sus predecesores sino que incluso lo sobrepas\u00f3 con creces. En el Renacimiento, Europa reencontr\u00f3 sus or\u00edgenes griegos con la ayuda de las traducciones del \u00e1rabe al lat\u00edn de numerosos trabajos de Euclides, Tolomeo, Arqu\u00edmides, Al-kharizmi, Arist\u00f3teles, Plat\u00f3n y otros.<\/p>\n
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Se puede afirmar que conocer matem\u00e1tica es saber contar, solo que esta habilidad no es f\u00e1cil de adquirir, pues nuestra fantas\u00eda teme volar y se aferra a las cosas tangibles, aparentemente m\u00e1s sencillas. Se debe recalcar que para contar no hay que tener previamente la idea de n\u00famero sino de cantidad, as\u00ed por ejemplo, al entrar a un teatro se puede saber de inmediato si hay m\u00e1s asientos que personas. Para ello basta comprobar si hay asientos vac\u00edos y sobrentender que cada espectador ha ocupado un asiento.<\/p>\n
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A pesar de no conocer el n\u00famero de asientos ni el de asistentes, la repuesta que se d\u00e9 ser\u00eda correcta y se podr\u00eda establecer con exactitud qu\u00e9 conjunto es m\u00e1s numeroso, el de asientos o el de asistentes al espect\u00e1culo. Esto sucede porque se ha realizado una de las operaciones m\u00e1s importantes de la matem\u00e1tica, se ha establecido una correspondencia biun\u00edvoca entre los elementos del conjunto de las sillas con la del p\u00fablico.<\/p>\n
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La idea de n\u00famero requiere de una abstracci\u00f3n mucho mayor y su grado de complejidad es minimizado por lo acostumbrado que estamos a la misma. Los n\u00fameros ar\u00e1bigos, que proceden de la India, fueron introducidos por los \u00e1rabes a Europa en el siglo X; tienen la ventaja de ser posicionales, esto es que cada lugar ocupado por un d\u00edgito implica cierta unidad decimal. As\u00ed, el n\u00famero 507 significa cinco centenas, m\u00e1s cero decenas y m\u00e1s siete unidades. Este sistema num\u00e9rico es el \u00fanico que goza de esta propiedad al mismo tiempo elemental y avanzada.<\/p>\n
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El hombre logr\u00f3 este grado de perfeccionamiento en el pensamiento abstracto luego un largo deambular por la esfera del conocimiento intuitivo. Se debe notar que cuando se dijo cero decenas, este concepto no le rompe la cabeza a nadie; sin embargo, el n\u00famero cero es una idea bastante avanzada porque representa la ausencia de toda cantidad; tal vez por eso en Occidente s\u00f3lo fue introducido en el medievo. As\u00ed, por ejemplo, uno puede decir que tiene cero dromedarios, ballenas, lunas y soles en el bolsillo derecho, y esto es cierto con respecto a cualquier cosa de la que se carezca.<\/p>\n
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Otra idea intuitiva, firmemente arraigada en cada uno de nosotros, es que se puede contar sin l\u00edmite. Se piensa as\u00ed pese a que nunca se lo ha hecho, pues nadie se va a dedicar \u00fanicamente a esta tarea, muy aburrida por cierto; adem\u00e1s, en el transcurso de su vida no lograr\u00eda contar ni diez mil millones.<\/p>\n
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Tambi\u00e9n cuando se cuenta se nota que la ley con que se forman n\u00fameros cada vez m\u00e1s grandes es bastante simple, basta con a\u00f1adir una unidad al \u00faltimo n\u00famero contado para obtener uno mayor; tambi\u00e9n se nota que este procedimiento no tiene fin. As\u00ed, sin hab\u00e9rselo propuesto, se tiende un puente imperceptible entre lo finito y lo infinito, esto es, se llega intuitivamente a la idea de infinito. Sin embargo se supone que a esta abstracci\u00f3n le debe corresponder algo real, y esto no es as\u00ed, en la naturaleza no hay ning\u00fan conjunto, por grande que sea, cuyo n\u00famero de elementos sea infinito.<\/p>\n
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Cuentan que alguna vez le preguntaron a un ni\u00f1o cu\u00e1l era el n\u00famero m\u00e1s grande que \u00e9l se pod\u00eda imaginar, y \u00e9l hab\u00eda respondido que es el n\u00famero de gotas de agua que caen sobre la ciudad de New York durante una tormenta. Le hicieron notar que mucho mayor es el n\u00famero de gotas de agua que caen sobre los Estados Unidos o sobre el mundo entero. \u00c9l estuvo de acuerdo y sostuvo que ese ser\u00eda el mayor n\u00famero que podr\u00eda existir, dijo que ese n\u00famero era tan grande como un uno seguido de cien ceros, y le puso el nombre de google . Lo cierto del caso es que es un n\u00famero muy grande, mucho mayor que el de \u00e1tomos que hay en el universo, que a duras penas es igual a un uno seguido de ochenta ceros; sin embargo, por grande que sea, es mucho menos que infinito. No existe ning\u00fan n\u00famero, por grande que sea, que se semeje al infinito.<\/p>\n
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Todo conjunto posee una cardinalidad que tiene que ver con el n\u00famero de sus elementos. Si se establece una relaci\u00f3n biun\u00edvoca entre los elementos de un conjunto cualquiera con los del conjunto de los n\u00fameros enteros, igual a lo que se hizo con los asientos de un teatro y los asistentes a un espect\u00e1culo, se llama cardinalidad el \u00faltimo entero que se pone en correspondencia con los elementos del conjunto que se cuenta; se dice entonces que la cardinalidad de este conjunto es finita.<\/p>\n
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Si la cardinalidad del conjunto contado es la misma que la del conjunto de los n\u00fameros enteros, o sea si a cada elemento del conjunto contado le corresponde sucesivamente un entero y viceversa, se dice que la cardinalidad del conjunto contado es infinita numerable.<\/p>\n
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Si en el conjunto contado quedan todav\u00eda elementos a los que no se le ha asignado un n\u00famero entero, porque los enteros se han terminado y ya no hay c\u00f3mo seguir contando, se dice que la cardinalidad de dicho conjunto es infinita innumerable.<\/p>\n
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Algo curioso se produce en todo conjunto cuya cardinalidad es infinita. En \u00e9l se cumple una de las conocidas leyes del Kybalion: Si bien es cierto que todo est\u00e1 en el TODO, no lo es menos que TODO est\u00e1 en todas las cosas. El que comprenda esto debidamente, ha adquirido gran conocimiento .<\/p>\n
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Aunque para cualquiera es claro que el conjunto de los m\u00faltiplos de google , esto es la unidad seguida de cien ceros , es parte de los enteros. Se puede establecer una relaci\u00f3n biun\u00edvoca entre ambos conjuntos, o sea que cada entero n puede ser puesto en correspondencia con el entero ngoogol y viceversa. Puesto que la regla para establecer esta equivalencia es clara, se puede afirmar que hay tantos enteros como m\u00faltiplos de google . Asombroso pero cierto. En este caso y otros m\u00e1s, el todo no es mayor que una aparentemente \u00ednfima de sus partes, ni esta peque\u00f1a parte suya es menor que el todo, y la cardinalidad de ambos conjuntos, por asombroso que parezca, es la misma.<\/p>\n
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Se dijo asombroso, porque el n\u00famero de \u00e1tomos que hay en el universo es menor a un uno seguido de ochenta ceros y se deber\u00eda tener tantos universos, igual a la cantidad de granos de arenas que existen en todas las playas del mundo, para que el n\u00famero de \u00e1tomos que habr\u00eda en todos esos universos fuese igual a un google ; sin embargo, hay tantos m\u00faltiplos de google como enteros. Repitamos: \u00a1Incre\u00edble pero cierto!<\/p>\n
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Se llama racional cualquier n\u00famero que puede ser expresado como una fracci\u00f3n cuyo denominador es distinto de cero. En la \u00e9poca de los griegos se cre\u00eda que todo n\u00famero era racional, o sea que pod\u00eda ser escrito como una fracci\u00f3n. Pero fueron los mismos griegos los m\u00e1s sorprendidos cuando luego de demostrar el teorema de Pit\u00e1goras encontraron que existen n\u00fameros como la ra\u00edz de dos ( ), por ejemplo, que no gozan de esta propiedad. Llamaron a estos n\u00fameros irracionales, pues supusieron que eran una rareza matem\u00e1tica y sacrificaron una buena cantidad de bueyes en honor a este tan ins\u00f3lito descubrimiento.<\/p>\n
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Dos mil y pico de a\u00f1os despu\u00e9s, el monje Georg Cantor, c\u00e9lebre matem\u00e1tico nacido en San Petersburgo, de quien se dice que sus descubrimientos lo enloquecieron, demostr\u00f3 que el conjunto de los irracionales tiene una cardinalidad infinitamente mayor que la de los racionales, en otras palabras, que en comparaci\u00f3n con los racionales, los irracionales son los n\u00fameros m\u00e1s abundantes y no la rareza dif\u00edcil de hallar, que creyeron los griegos.<\/p>\n
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Para terminar, la matem\u00e1tica comprueba mediante una demostraci\u00f3n, que no se va a hacer en este art\u00edculo, que todo idioma es de por s\u00ed contradictorio, o sea que no se puede hablar sin correr el riesgo de caer en entredicho, pues as\u00ed est\u00e1n estructurados los idiomas. Por lo tanto, si se expresa algo que uno piensa no se est\u00e1 exento de caer en la m\u00e1s flagrante contradicci\u00f3n.<\/p>\n
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Esta afirmaci\u00f3n era conocida por los griegos, que plantearon el siguiente problema: El barbero de Creta tiene por ley la obligaci\u00f3n de hacer la barba a todo aquel que no se afeite. Se pregunta: \u00bfEl barbero de Creta se afeita a s\u00ed mismo o no? Si no lo hace, rompe la ley, pues no afeita a alguien que no se afeita, y si se afeita, tambi\u00e9n rompe la ley, pues afeita a alguien que si se afeita y s\u00f3lo debe afeitar a aquellos que no se afeiten. Interesante, \u00bfno?<\/p>\n
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