Se cuenta que Arquímedes hizo grabar sobre su tumba un círculo inscrito a la vez en un cuadrado y en un triángulo equilátero de bases superpuestas, en memoria de uno de sus más bellos descubrimientos: que el volumen de una esfera es los dos tercios del volumen del cilindro cirtacunscrito, que a su vez es los dos tercios del volumen del cono equilátero circunscrito a la misma esfera. Y se cuenta también que gracias a este emblema pudo hallar Cicerón la tumba del siracusano, olvidada y cubierta por la maleza, un siglo y medio después de su muerte. Pero ¿cómo obtuvo Arquímedes la fórmula del volumen de la esfera? No es fácil explicarlo sin ayuda de un dibujo, así que el amable lector tendrá que hacer un esfuerzo de imaginación, preferentemente con ayuda de papel y lápiz.
Arquímedes imaginó una esfera inscrita en un cilindro y los dividió ecuatorialmente por la mitad; separó la semiesfera del cilindro demediado e inscribió en este un cono, y luego imaginó los tres sólidos cortados en finísimas tajadas horizontales, o lo que es lo mismo, seccionados por una infinidad de planos paralelos, y vio que para cada corte se cumplía que el área de la sección de la semiesfera era igual al área de la sección del cilindro menos el área de la sección del cono. Y anticipándose dos mil años al cálculo integral, dedujo que si esta relación se cumplía para todas las tajadas, también tendría que cumplirse para sus respectivas sumas, por lo que el volumen de la semiesfera tenía que ser igual al del cilindro menos el del cono. Arquímedes conocía las fórmulas que permiten hallar el volumen del cilindro y el del cono, por lo que pudo deducir la conocida fórmula del volumen de la esfera: cuatro tercios de ¶ por el cubo del radio (4/3¶r3).
A señalar que las fórmulas relativas al cilindro y al cono –y, previa a estas, la del área del círculo– también requieren para su obtención enfoques afines al cálculo infinitesimal, como considerar que la circunferencia es un polígono de infinitos lados o que un cilindro es un prisma de infinitas caras. Precisamente imaginando una circunferencia atrapada entre un polígono inscrito y otro circunscrito cuyo número de lados crece indefinidamente, halló Arquímedes una excelente aproximación al valor de ¶, que situó entre 22/7 y 223/71. La hazaña hipotética de la que alardeó en su Arenario (contar los granos de arena necesarios para llenar el universo) se queda pequeña ante los logros reales del genio de Siracusa, el primero en domesticar el infinito.
* Carlo Frabetti. Escritor y matemático
